OpenAI 發表由 AI 生成的 Navier–Stokes 爆破解明
OpenAI 發表了一份形式化證明，聲稱平滑、受外力驅動的三維 Navier–Stokes 流可產生有限時間奇異點。
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OpenAI 發表了一份長達 166 頁的證明，聲稱透過構造一種會在有限時間內出現無界速度的三維流體流動，解決 Navier–Stokes 存在性與光滑性千禧年大獎難題。
該公司同時發布了傳統數學論文，以及以證明輔助工具 Lean 撰寫的形式化版本；Lean 會檢查每一步是否均由明確列出的定義及假設推導而來。OpenAI 表示，該證明由約 10,000 個並行智能體生成，所用的是一個未發布、能力「顯著高於」GPT-6 Astra 的內部模型。
這項結果尚未獲 Clay Mathematics Institute 接納，亦未通過獲頒千禧年大獎所需的審查程序。因此，截至 9 月 9 日，它應被描述為已發表的擬議解答，而非正式確立的定理。
一、擬議證明確立了甚麼
Navier–Stokes 方程描述空氣和水等黏性流體的運動。在三維情況下，數學家長期未能證明：平滑的初始條件是否必然在所有未來時刻產生平滑解，還是會形成奇異點。
OpenAI 的論文採取後者。其主要定理指出，對於每一個正黏度，均存在一個平滑外力及一個從零速度開始、卻在 \(t=1\) 時變為無界的解。該流動在空間上始終局限於一個固定的緊緻區域，而在接近奇異點時，其總動能仍保持一致有界。
這比單純說電腦模擬變得不穩定更強且更具體。論文聲稱構造出一個解析解：即使初始狀態、施加的外力及奇異點出現前的演化均為平滑，流體的最大速度仍會發散。
外力的使用相當重要。Clay Mathematics Institute 的官方表述為解決該難題提供四條可接受的路徑。選項 A 及 B 分別要求在普通三維空間及週期域中，於無外力下證明全域平滑性。選項 C 及 D 則容許平滑外力，並要求在這兩種設定下給出反例。
OpenAI 聲稱在 \(\mathbb{R}^3\) 中確立選項 C。由於所構造的速度及壓力具有緊緻空間支撐，論文稱同一構造亦會產生選項 D 所要求的週期性反例。
因此，該結果並非聲稱每一種普通流體流動都會變得奇異，亦非為任意湍流提供封閉形式解。它構造特定的平滑外力及流動，顯示在獎項聲明明確允許的條件下，該數學模型可以失效。
二、有限時間奇異點如何構造
證明中的核心對象是一個軸對稱渦旋；它一邊旋轉並沿其軸線拉伸，一邊向原點收縮。隨着奇異時間臨近，流體向內螺旋，其角向及軸向速度均會上升。
把剩餘時間寫作 \(\tau=1-t\)，論文將渦旋核心的徑向尺度設定為約與 \(\tau^{1/2}\) 成正比，軸向尺度則收縮得稍慢。其特徵角向及軸向速度約按 \(\tau^{-1/2-h}\) 增長，其中 \(h\) 是一個小於 \(1/100\) 的正參數。
愈來愈快的運動被限制在愈來愈小的體積內。根據該構造，核心的動能按 \(\tau^{1/2-3h}\) 縮放，對於容許的 \(h\) 值會趨近於零。正是最大速度與總能量之間的分離，使該證明能在不違反 Clay 表述中有界能量條件下產生無界速度。
單靠構造一個收縮渦旋並不足夠。對於任意速度及壓力場，人們可以直接定義一個令 Navier–Stokes 方程成立的外力，但該外力本身可能在奇異時間發散。這種構造不會符合問題對平滑外力的要求。
OpenAI 的擬議解答以渦旋核心周圍環狀區域中的局部振盪脈衝處理這個問題。這些脈衝從背景剪切中提取能量，並產生非線性動量通量。兩組脈衝經安排後，其平均效應會抵消收縮背景渦旋原本所需外力中的奇異部分。
額外修正會減少餘下誤差，而由黏性擴散主導的外部流動，則使構造能在空間中平滑截斷。所聲稱的最終結果是一個會發散的速度場，同時作為外力出現的殘差可平滑延伸穿過奇異時間。
三、10,000 個智能體的研究過程
OpenAI 表示，它在 2026 年 8 月 28 日開始訓練這個未命名內部模型。9 月 1 日，在聽聞兩個千禧年大獎難題取得進展的傳聞後，研究人員將多組智能體分配至 Clay 系列中所有尚未解決的難題及數個相關問題。
這些智能體可以閱讀互聯網的快取版本、執行程式碼，以及在組內交換資訊。不同組別獲分配不同版本的 Navier–Stokes 挑戰，包括全域平滑性及有限時間失效兩種選項。
據報一項中期結果改變了搜索方向。近 100 個智能體花了約 50 小時研究無外力 Euler 方程的正則性問題；Euler 方程描述的是沒有黏度的理想化流體。在這些智能體提出有限時間爆破構造後，OpenAI 將更多資源轉投黏性 Navier–Stokes 問題，並把 Euler 結果提供予新組別。
OpenAI 亦使用 Codex 整合有用的中期發現，並在各組之間傳遞。該公司表示，成功的 Navier–Stokes 構造於 9 月 5 日出現，即首批智能體啟動後約 88 小時。
Navier–Stokes 工作產生了 270 萬則智能體訊息及約 1,300 億個輸出 token。在項目期間嘗試的所有數學問題中，系統共產生了 490 萬則訊息及約 3,000 億個輸出 token。OpenAI 高層另向 Axios 表示，運算成本達數百萬美元。
生成模型尚未發布，使外部研究人員無法直接重現該實驗。GPT-6 Astra 用於後期的形式化及驗證階段，OpenAI 表示該階段另需 17 小時；它並非最初發現證明的模型。
四、Lean 形式化確立及未能確立的事
OpenAI 已根據 Apache 2.0 授權發布 Lean 4 原始碼。該儲存庫包含 Navier–Stokes 及 Euler 結果的形式化版本，並提供使用 Lean 4.34.0-rc2、Mathlib 及 Lake 的建置指示。
機器檢查的證明會實質加強這項提交，因為 Lean 要求形式論證必須針對精確陳述通過類型檢查。它可發現可能被冗長自然語言推導掩蓋的邏輯步驟缺失，而其他研究人員亦可下載並重新建置公開檔案。
形式驗證本身並不能證實該形式定理涵蓋千禧年大獎表述所意圖的每一項條件。專家仍須檢查定義、假設、匯入結果，以及 166 頁解析論證與 Lean 陳述之間的對應關係。獨立專家亦必須評估該數學構造是否如聲稱般運作。
Clay Mathematics Institute 不會透過直接提交接受擬議解答。按照其規則，解答必須先在合資格刊物發表、至少經過兩年，並在全球數學界獲得普遍接受，該機構才會考慮。
OpenAI 表示無意申領 100 萬美元獎金。這項決定不會縮短驗證程序，亦不會將該公司的公告轉化為機構認可。
五、同期研究及尚未解決的來源問題
OpenAI 表示，促使其於 9 月 1 日展開工作的傳聞，後來與 NYU 教授 Tristan Buckmaster 及 Anthropic 研究員 Levent Alpöge 有關。他們的同期工作涉及受外力 Euler 方程及相關流體系統的有限時間爆破，而非 OpenAI 發布的黏性 Navier–Stokes 結果。
根據 OpenAI 的說法，其 Navier–Stokes 證明及 Lean 驗證於 9 月 6 日完成。該公司其後聯絡 Buckmaster 及 Alpöge，因其相信二人或許亦已解決 Navier–Stokes，並提議協調發表，同時承認他們的優先權。OpenAI 表示，其後得悉二人的結果其實處理的是受外力 Euler。
Buckmaster 公開質疑，得知外部項目會否令 OpenAI 競逐同一個較廣泛的研究方向；由於草稿曾透過 Codex 處理，他亦提出疑慮。OpenAI 表示，在二人的工作公開發布前，其研究人員及智能體均未曾存取該工作，而且所得證明採用了實質不同的方法。
不過，該公司亦表示，無法完全排除由他們使用 OpenAI 產品而衍生的去識別化資料，早前曾為模型訓練作出貢獻的可能性。目前沒有公開證據顯示內部模型複製了他們的草稿，而 Buckmaster 亦未聲稱知道其資料是否曾被使用。
這次事件為 AI 輔助研究帶來具體的管治問題。使用託管模型處理未發表工作的科學家，必須能夠確定其輸入資料是否被保留、用於訓練，或可被供應商看到。當同一供應商能以競爭研究者身分部署規模大得多的智能體系統時，技術性資料控制及可審計的來源追溯，便成為科學功勞歸屬的一部分，而不僅是產品私隱設定。
常見問題
Navier–Stokes 千禧年大獎難題是否已正式解決？
否。OpenAI 已發表擬議解答，但尚未完成 Clay Mathematics Institute 的發表、等候期及普遍接受要求。
該證明是否顯示普通水可以達到無限速度？
否。它構造了一種具有精心設計的平滑外力的特定數學流動。無限速度表示連續介質方程失效，而非預測實體流體會真的無限加速。
GPT-6 Astra 是否發現該證明的模型？
否。OpenAI 將該發現歸因於一個比 GPT-6 Astra 更強的未發布內部模型。Astra 用於長達 17 小時的 Lean 形式化及驗證階段。
研究人員能否檢視這項結果？
可以。OpenAI 已公開發布 166 頁論文及 Lean 4 形式化版本。不過，內部模型及完整智能體基礎設施無法公開重現。
該證明涉及受外力還是無外力 Navier–Stokes 方程？
它使用平滑外力。這在 Clay Mathematics Institute 官方問題聲明的選項 C 及 D 下獲允許。
參考來源
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