OpenAI 发布 AI 生成的纳维–斯托克斯爆破解证明
OpenAI 发布了一项形式化证明，声称光滑、受迫的三维纳维–斯托克斯流可在有限时间内形成奇点。
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OpenAI 发布了一项长达 166 页的证明，声称通过构造一个在有限时间内出现无界速度的三维流体流，解决了纳维–斯托克斯方程存在性与光滑性这一千禧年大奖难题。
该公司同时发布了一篇常规数学论文和一份使用证明助手 Lean 编写的形式化证明。Lean 会检查每一步是否遵循明确给出的定义和假设。OpenAI 表示，该证明由约 10,000 个并发智能体生成，所用的是一款未发布的内部模型，“significantly more capable” than GPT-6 Astra。
该结果尚未获克雷数学研究所接受，也未完成获得千禧年大奖所需的审查程序。因此，截至 9 月 9 日，它应被描述为一项已发表的拟议解答，而非已获官方确认的定理。
一、拟议证明确立了什么
纳维–斯托克斯方程描述空气和水等黏性流体的运动。在三维情况下，数学家长期无法证明：光滑初始条件是否必然在未来所有时间内产生光滑解，还是可能形成奇点。
OpenAI 的论文选择了第二条路径。其主要定理指出，对于每一个正黏性系数，都存在一个光滑外力和一个解：该解从零速度开始，却在 \(t=1\) 时变得无界。该流动在空间上始终局限于一个固定的紧致区域内，并且在趋近奇点时，其总动能始终一致有界。
这比说某个计算机模拟变得不稳定更强，也更具体。论文声称给出了一种解析构造：即使初始状态、施加的外力以及奇点形成前的演化都是光滑的，流体的最大速度仍会发散。
外力的使用至关重要。克雷数学研究所的官方表述给出了四条可接受的解题路径。备选方案 A 和 B 分别要求在普通三维空间和周期性区域中证明无外力情形下的全局光滑性。备选方案 C 和 D 则允许存在光滑外力，并要求在这两种设置中给出反例。
OpenAI 声称在 \(\mathbb{R}^3\) 中确立了备选方案 C。由于所构造的速度和压力具有紧致空间支撑，论文称同一构造也给出了备选方案 D 所要求的周期性反例。
因此，该结果并非声称每一种普通流体流都会形成奇点，也并未为任意湍流提供闭式解。它构造了特定的光滑外力和流动，表明在大奖题目明确允许的条件下，这一数学模型可能失效。
二、有限时间奇点如何构造
证明的核心对象是一个轴对称涡旋。它绕原点收缩，同时沿其轴线旋转和拉伸。随着奇异时刻临近，流体向内螺旋运动，其角向速度和轴向速度不断增大。
将剩余时间记为 \(\tau=1-t\)，论文令涡核的径向尺度大致与 \(\tau^{1/2}\) 成正比，轴向尺度则收缩得略慢一些。其特征角向和轴向速度大致以 \(\tau^{-1/2-h}\) 增长，其中 \(h\) 是一个小于 \(1/100\) 的正参数。
越来越快的运动被限制在越来越小的体积中。根据该构造，涡核的动能按 \(\tau^{1/2-3h}\) 缩放；对于允许的 \(h\) 取值，这一量趋于零。最大速度与总能量之间的这种分离，使该证明能够在不违反克雷研究所表述中的有界能量条件下产生无界速度。
仅仅制造一个收缩涡旋还不够。对于任意速度场和压力场，人们都可以简单地定义一个外力，使纳维–斯托克斯方程成立，但该外力本身可能在奇异时刻发散。这样的构造不满足题目对光滑外力的要求。
OpenAI 的拟议解答通过位于涡核周围环形区域内的局部振荡脉冲来处理这一问题。这些脉冲从背景剪切中提取能量，并产生非线性动量通量。两组脉冲经过安排，使其平均效应抵消收缩背景涡旋原本会要求的外力中的奇异部分。
额外的修正项会减小剩余误差，而由黏性扩散支配的外部流动则使该构造能够在空间中被平滑截断。所声称的最终结果是：速度场发散，而作为外力出现的残差可平滑延拓穿过奇异时刻。
三、一项由 10,000 个智能体参与的研究过程
OpenAI 表示，其于 2026 年 8 月 28 日开始训练这款未命名的内部模型。9 月 1 日，在听闻两个千禧年大奖难题取得进展的传闻后，研究人员将智能体小组分配到克雷问题集中所有尚未解决的问题及若干相关问题上。
这些智能体可以读取互联网的缓存版本、执行代码，并在小组内交换信息。不同小组获得了不同版本的纳维–斯托克斯挑战，包括全局光滑性和有限时间失效两类备选方案。
据称，一项中间结果改变了搜索方向。近 100 个智能体花费约 50 小时研究无外力欧拉方程的正则性问题；该方程描述的是一种没有黏性的理想化流体。在这些智能体提出有限时间爆破构造后，OpenAI 将更多资源转向有黏性的纳维–斯托克斯问题，并向新小组提供了欧拉方程的结果。
OpenAI 还使用 Codex 汇总有用的中间发现，并在各小组之间传播。该公司称，成功的纳维–斯托克斯构造于 9 月 5 日出现，约在首批智能体启动 88 小时后。
纳维–斯托克斯项目产生了 270 万条智能体消息和约 1,300 亿个输出 token。在该项目尝试的所有数学问题中，这些系统共生成了 490 万条消息和约 3,000 亿个输出 token。OpenAI 高管另行向 Axios 表示，计算成本达到数百万美元。
生成模型尚未发布，因此外部研究人员无法直接复现该实验。GPT-6 Astra 用于后续的形式化和验证阶段；OpenAI 表示，该阶段还需要 17 小时。它并不是最初发现该证明的模型。
四、Lean 形式化证明解决了什么，又没有解决什么
OpenAI 已依据 Apache 2.0 许可证发布 Lean 4 源代码。该代码库包含纳维–斯托克斯和欧拉方程结果的形式化证明，并提供使用 Lean 4.34.0-rc2、Mathlib 和 Lake 的构建说明。
机器检验的证明显著增强了这项提交，因为 Lean 要求形式化论证针对精确陈述通过类型检查。它能够发现可能被长篇自然语言推导掩盖的逻辑缺失步骤，其他研究人员也可以下载并重新构建公开文件。
形式化验证本身并不能确定形式化定理涵盖了千禧年大奖表述所意图的全部条件。专家仍需检查定义、假设、导入的结果，以及这份 166 页解析论证与 Lean 陈述之间的对应关系。独立专家还必须评估该数学构造是否如其声称般运作。
克雷数学研究所不通过直接提交接受拟议解答。根据其规则，一项解答必须先发表在符合条件的出版物上，至少经过两年，并在全球数学界获得普遍认可，研究所才会予以考虑。
OpenAI 表示无意申领 100 万美元奖金。这一决定不会缩短验证程序，也不会将该公司的公告转化为机构认可。
五、并行研究与尚未解决的溯源问题
OpenAI 表示，促使其在 9 月 1 日启动相关工作的传闻，后来被证实与纽约大学教授 Tristan Buckmaster 和 Anthropic 研究员 Levent Alpöge 有关。他们的并行研究涉及受迫欧拉方程及相关流体系统的有限时间爆破，而非 OpenAI 发布的有黏性纳维–斯托克斯结果。
据 OpenAI 称，其纳维–斯托克斯证明和 Lean 验证于 9 月 6 日完成。随后，该公司联系了 Buckmaster 和 Alpöge，因为它认为二人可能也解决了纳维–斯托克斯问题，并提议协调发表，同时承认其优先权。OpenAI 表示，此后得知他们的结果实际上针对的是受迫欧拉方程。
Buckmaster 公开质疑，对外部项目的了解是否促使 OpenAI 向同一更广泛的研究方向竞速推进；由于草稿曾通过 Codex 处理，他也提出了担忧。OpenAI 表示，在二人的工作公开发布前，其研究人员和智能体均未访问过该工作，且最终证明采用的方法存在实质差异。
不过，该公司同时表示，无法完全排除这样一种可能性：源自他们使用 OpenAI 产品的去标识化数据，可能此前已对模型训练作出贡献。目前没有公开证据表明该内部模型复现了他们的草稿，Buckmaster 也没有声称知道自己的数据是否被使用。
这一事件为 AI 辅助研究带来了具体的治理问题。使用托管模型开展未发表工作的科学家，必须能够确定其输入是否会被保留、用于训练或对提供方可见。当同一提供方能够以竞争研究者的身份部署规模大得多的智能体系统时，技术数据控制和可审计的溯源便成为科学署名的一部分，而不只是产品隐私设置。
常见问题
纳维–斯托克斯千禧年大奖难题是否已被正式解决？
没有。OpenAI 已发布一项拟议解答，但尚未满足克雷数学研究所关于发表、等待期和普遍认可的要求。
该证明是否表明普通水可以达到无限速度？
没有。它构造的是一个具有精心设计的光滑外力的特定数学流动。无限速度表明连续介质方程发生失效，而非预测物理流体会真的无限加速。
GPT-6 Astra 是发现该证明的模型吗？
不是。OpenAI 将这一发现归因于一款比 GPT-6 Astra 更强的未发布内部模型。Astra 用于历时 17 小时的 Lean 形式化和验证阶段。
研究人员能否审查这一结果？
可以。OpenAI 已公开发布这篇 166 页论文和 Lean 4 形式化证明。不过，内部模型和完整的智能体基础设施尚无法由公众复现。
该证明讨论的是受迫还是无外力的纳维–斯托克斯方程？
它使用了光滑外力。这在克雷数学研究所官方题目表述的备选方案 C 和 D 中是允许的。
参考来源
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